函数 $y=\dfrac{1+x}{1+x^2}$ 的值域是 ，单调递增区间是 ．
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{1-\sqrt2}{2},\dfrac{1+\sqrt2}{2}\right]$，$\left(-1-\sqrt 2,-1+\sqrt 2\right)$
【解析】
题中函数即\[y=\begin{cases} 0,&x=-1,\\ \dfrac{1}{x+1+\dfrac 2{x+1}-2},&x\ne -1.\end{cases}\]考虑到函数\[\varphi(x)=x+1+\dfrac{1}{x+1}\]的值域为 $\left(-\infty,-2\sqrt 2\right]\cup\left[2\sqrt 2,+\infty\right)$，于是题中函数的值域为 $\left[\dfrac{1-\sqrt 2}2,\dfrac{1+\sqrt 2}2\right]$，单调递增区间是 $\left(-1-\sqrt 2,-1+\sqrt 2\right)$．
题目
答案
解析
备注
