已知函数 $f(x)=\dfrac{2ax+a^2-1}{x^2+1}$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上既有最大值，又有最小值，则 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty,-1]\cup (0,1]$
【解析】
当 $a=0$ 时，显然不符合题意．而当 $a\neq 0$ 时，由于函数 $f(x)$ 的定义域是 $\mathbb R$，所以其函数图象只有可能为如下两种情形．
考虑到函数 $f(x)$ 既有最大值又有最小值，因此只需要$$\begin{cases} a\neq 0,\\ a\cdot f(0)\leqslant 0,\end{cases}$$即$$\begin{cases} a\neq 0,\\ a(a^2-1)\leqslant 0,\end{cases}$$解得 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-1]\cup (0,1]$．
考虑到函数 $f(x)$ 既有最大值又有最小值，因此只需要$$\begin{cases} a\neq 0,\\ a\cdot f(0)\leqslant 0,\end{cases}$$即$$\begin{cases} a\neq 0,\\ a(a^2-1)\leqslant 0,\end{cases}$$解得 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-1]\cup (0,1]$．
题目
答案
解析
备注
