过双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的一个焦点 $F$ 作平行于渐近线的两直线，与双曲线分别交于 $A,B$ 两点，若 $|AB|=2a$，双曲线的离心率为 $e$，则 $\left[e^2\right]=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
由双曲线的对称性知 $AB\perp x$ 轴，不妨设 $A$ 在 $x$ 轴上方，则 $A$ 点的坐标为 $\left(-\dfrac {ac}{b},a\right)$，从而有$$k_{AF}=\dfrac {a}{-\dfrac{ac}{b}+c}=\dfrac ba,$$整理得$$a^2=bc-ac=\sqrt{c^2-a^2}c-ac,$$从而知双曲线的离心率 $e$ 满足$$e^3-e^2-e-1=0.$$记 $f(x)=x^3-x^2-x-1$，则$$f'(x)=(x-1)(3x+1),$$所以 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，而$$f(\sqrt 3)<0,f(2)>0,$$所以 $e\in(\sqrt 3,2)$，从而有 $\left[e^2\right]=3$．
题目
答案
解析
备注
