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已知函数 $f\left(x\right)=\dfrac{-2^{x}+\sin\theta}{2^{-x}+\cos\theta}\left(0\leqslant x\leqslant 1\right)$ 的最小值为 $g\left(\theta\right)$，则对一切 $\theta\in\left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right]$，$g\left(\theta\right)$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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【答案】
$\dfrac{4-2\sqrt{13}}{3}$
【解析】
根据题意，设 $t=-2^{-x}$，则 $t\in \left[-1,-\dfrac 12\right]$，于是$$y=\dfrac{\sin \theta-\left(-\dfrac 1t\right)}{\cos\theta-t},$$其几何意义是圆弧 $x^2+y^2=1$（$x,y\geqslant 0$）上的点 $A$ 与双曲线的一部分即 $y=-\dfrac 1x$，其中 $x\in\left[-1,-\dfrac12\right]$ 上的点 $B$ 的连线的斜率，如图．由图可知，无论 $\theta$ 取何值，$g(\theta)$ 总在 $B$ 点位于 $B_2\left(-\dfrac 12,2\right)$ 时取得最小值，因此 $g(\theta)$ 的最小值当 $AB_2$ 与圆弧相切时取得，计算得此时切线斜率为 $\dfrac{4-2\sqrt{13}}{3}$，即为所求的最小值．
题目 答案 解析 备注
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