在 $\triangle ABC$ 中，$M$ 是 $BC$ 的中点，$BM=2$，$AM=AB-AC$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt 3$
【解析】
以 $BC$ 所在直线为 $x$ 轴，以 $M$ 为坐标原点建立平面直角坐标系，$\triangle ABC$ 的面积只与 $A$ 点的纵坐标相关．
设 $AM$ 的长为 $2a$，则点 $A$ 既在以 $M$ 为圆心，$2a$ 为半径的圆上，也在以 $B,C$ 为焦点，实轴长为 $2a$ 的双曲线右支上，联立圆与双曲线的方程有$$\begin{cases} \dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{a^2}=4,\\\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac {y^2}{4-a^2}=1,\end{cases}$$两式相减得$$y^2=\dfrac 34a^2(4-a^2)\leqslant 3,$$当且仅当 $a=\sqrt 2$ 时取到等号，所以$$\left(S_{\triangle ABC}\right)_{\max}=\dfrac 12\cdot 4\cdot \sqrt 3=2\sqrt 3.$$
设 $AM$ 的长为 $2a$，则点 $A$ 既在以 $M$ 为圆心，$2a$ 为半径的圆上，也在以 $B,C$ 为焦点，实轴长为 $2a$ 的双曲线右支上，联立圆与双曲线的方程有$$\begin{cases} \dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{a^2}=4,\\\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac {y^2}{4-a^2}=1,\end{cases}$$两式相减得$$y^2=\dfrac 34a^2(4-a^2)\leqslant 3,$$当且仅当 $a=\sqrt 2$ 时取到等号，所以$$\left(S_{\triangle ABC}\right)_{\max}=\dfrac 12\cdot 4\cdot \sqrt 3=2\sqrt 3.$$
题目
答案
解析
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