题目 已知不等式 $\ln (x+1)-1\leqslant ax+b$ 对一切 $x>-1$ 都成立，则 $\dfrac{b}a$ 的最小值是<nn> </nn>． 答案 $1-{\rm e}$ 解析 考虑不等式两边分别对应有函数 $f(x)=\ln (x+1)-1$ 与 $g(x)=ax+b$，其中 $g(x)$ 的图象是一条直线，且横截距为 $-\dfrac ba$，所以求出当函数 $f(x)$ 的图象在直线 $g(x)$ 下方（或 $g(x)$ 上）时，直线的横截距的最大值即可．<br/>函数 $f(x)$ 的图象如下：<img src="http://bison.img.eduzhixin.com/math-img/d60b8752843261a3c77ed48fe9dbedd5.png" class="img-responsive" />容易看出横截距的最大值为 ${\rm e}-1$，所以 $\dfrac ba$ 的最小值为 $1-{\rm e}$． 备注 严格的书写可以在不等式中令 $x={\rm e}-1$，于是题中不等式为$$a\left({\rm e}-1+\dfrac ba\right)\geqslant 0,$$不等式恒成立必有 $a>0$，从而得到 $\dfrac ba\geqslant 1-{\rm e}$，再去验证当 $\dfrac ba=1-{\rm e}$ 时，不等式恒成立．<br/>也可以直接取 $f(x)$ 在 $x={\rm e}-1$ 处的切线，结合对数函数的凹凸性知$$\ln(x+1)-1\leqslant [\ln(x+1)-1]'|_{x={\rm e}-1}\cdot\big(x-({\rm e}-1)\big)=\dfrac 1{\rm e}(x-{\rm e}+1).$$等号在 $x={\rm e}-1$ 时可取到，从而得到 $\dfrac ba$ 的最小值为 $1-{\rm e}$．<br/>每日一题[759]从切线含义出发．