查看数据源：590a78806cddca0008610ccd
椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，$P$ 为椭圆 $C$ 上的动点，则 \((\qquad)\)
A: $a=\sqrt{2}b$ 时，满足 $\angle F_1PF_2=90^\circ$ 的点 $P$ 有 $2$ 个
B: $a<\sqrt{2}b$ 时，满足 $\angle F_1PF_2=90^\circ$ 的点 $P$ 有 $4$ 个
C: $\triangle PF_1F_2$ 的面积的最大值为 $\dfrac{a^2}{2}$
D: $\triangle PF_1F_2$ 的周长小于 $4a$
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    解析几何
    >
    综合习题
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的几何量
【答案】
ACD
【解析】
对于选项A和B，椭圆中使得 $\angle F_1PF_2$ 最大的点 $P$ 位于短轴的两个端点．
对于选项C，$\triangle F_1PF_2$ 的面积\[S=\dfrac 12|F_1F_2|\cdot y_P\leqslant bc\leqslant \dfrac{b^2+c^2}2=\dfrac {a^2}2,\]等号当且仅当 $y_P=b$ 且 $b=c$ 时取得．
对于选项D，$\triangle F_1PF_2$ 的周长为 $2a+2c<4a$．
题目 答案 解析 备注
0.110464s