已知函数 $f(x)=(x^2+ax+b){\rm e}^x$，当 $b<1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,-2)$ 和 $(1,+\infty)$ 上均为增函数，则 $\dfrac{a+b}{a-2}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-2,\dfrac 23\right]$
【解析】
对函数 $f(x)$ 求导得$$f'(x)=\left[x^2+(a+2)x+(a+b)\right]\cdot{\rm e}^x,$$由题意知二次函数 $y=x^2+(a+2)x+(a+b)$ 在 $(-\infty,-2)$ 与 $(1,+\infty)$ 上的函数值非负．
设 $m=a-2$，$n=a+b$，则 $n-m=b+2<3$，于是问题转化为$$\forall x\in(-\infty,-2)\cup (1,+\infty),g(x)=x^2+(m+4)x+n\geqslant 0,$$求 $\dfrac nm$ 的取值范围．
先考虑此二次函数的判别式$$\Delta =(m+4)^2-4n>(m+4)^2-4(m+3)=(m+2)^2\geqslant 0,$$从而我们得到 $(m,n)$ 的限制条件为$$\begin{cases} g(-2)=n-2m-4\geqslant 0,\\g(1)=m+n+5\geqslant 0,\\n-m<3,\\-2\leqslant -\dfrac{m+4}2\leqslant 1,\end{cases}$$可行域如下：
目标函数 $\dfrac nm$ 是可行域中的点 $(m,n)$ 的斜率，求出交点即可得所求范围为 $\left(-2,\dfrac 23\right]$．
设 $m=a-2$，$n=a+b$，则 $n-m=b+2<3$，于是问题转化为$$\forall x\in(-\infty,-2)\cup (1,+\infty),g(x)=x^2+(m+4)x+n\geqslant 0,$$求 $\dfrac nm$ 的取值范围．
先考虑此二次函数的判别式$$\Delta =(m+4)^2-4n>(m+4)^2-4(m+3)=(m+2)^2\geqslant 0,$$从而我们得到 $(m,n)$ 的限制条件为$$\begin{cases} g(-2)=n-2m-4\geqslant 0,\\g(1)=m+n+5\geqslant 0,\\n-m<3,\\-2\leqslant -\dfrac{m+4}2\leqslant 1,\end{cases}$$可行域如下：
目标函数 $\dfrac nm$ 是可行域中的点 $(m,n)$ 的斜率，求出交点即可得所求范围为 $\left(-2,\dfrac 23\right]$．
题目
答案
解析
备注
