设函数 $f(x)=\begin{cases} 2-|x+2|,x\leqslant 0,\\x^2,x>0,\end{cases} $，$g(x)=k\left(x-\dfrac 43\right)(k\in\mathbb{R})$，若存在唯一的整数 $x$，使得 $\dfrac{f(x)-g(x)}{x}<0$，则 $k$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty,-3)\cup\left(-\dfrac 35,-\dfrac 37\right]$
【解析】
先理解题中条件“存在唯一的整数 $x$，使得 $\dfrac{f(x)-g(x)}{x}<0$”：
这个条件等价于除了一个非零整数外，对所有其它整数均有$$\dfrac{f(x)-g(x)}{x}\geqslant 0,$$即对于一个非零整数外的其它整数均有$$\begin{cases} x>0,\\f(x)\geqslant g(x),\end{cases} \lor \begin{cases} x<0,\\f(x)\leqslant g(x).\end{cases} $$容易作出 $f(x)$ 的图象，又 $g(x)$ 的图象恒过点 $\left(\dfrac 43,0\right)$，由 $x<0$ 时，$f(x)\leqslant g(x)$ 对至多一个 $x\in\mathbb{Z}$ 不成立知 $k<0$：
再结合 $f(x)$ 的图象知，唯一的解只可能是 $-2$ 或 $1$，如图：
从而得到 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,-3)\cup\left(-\dfrac 35,-\dfrac 37\right]$．
这个条件等价于除了一个非零整数外，对所有其它整数均有$$\dfrac{f(x)-g(x)}{x}\geqslant 0,$$即对于一个非零整数外的其它整数均有$$\begin{cases} x>0,\\f(x)\geqslant g(x),\end{cases} \lor \begin{cases} x<0,\\f(x)\leqslant g(x).\end{cases} $$容易作出 $f(x)$ 的图象，又 $g(x)$ 的图象恒过点 $\left(\dfrac 43,0\right)$，由 $x<0$ 时，$f(x)\leqslant g(x)$ 对至多一个 $x\in\mathbb{Z}$ 不成立知 $k<0$：
再结合 $f(x)$ 的图象知，唯一的解只可能是 $-2$ 或 $1$，如图：
从而得到 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,-3)\cup\left(-\dfrac 35,-\dfrac 37\right]$．
题目
答案
解析
备注
