设二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的导函数为 $f'(x)$，对 $\forall x\in\mathbb{R}$，不等式 $f(x)\geqslant f'(x)$ 恒成立，则 $\dfrac {b^2}{a^2+2c^2}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt 6-2$
【解析】
由题意知$$\forall x\in\mathbb{R},ax^2+(b-2a)x+c-b\geqslant 0,$$题中已说明是二次函数，故 $a\ne 0$，所以有$$a>0,\Delta=(b-2a)^2-4a(c-b)\leqslant 0,$$整理得$$a>0,b^2\leqslant 4ac-4a^2,$$从而有 $c\geqslant a$．于是$$\dfrac {b^2}{a^2+2c^2}\leqslant \dfrac{4ac-4a^2}{a^2+2c^2}=\dfrac {4\left(\dfrac ca-1\right)}{2\left(\dfrac ca\right)^2+1}.$$记 $t=\dfrac ca-1\geqslant 0$，因为考虑最大值，所以只需要考虑 $t>0$，有$$RHS=\dfrac {4t}{2(t+1)^2+1}=\dfrac 4{2t+\dfrac 3t+4}\leqslant \sqrt 6-2.$$当 $t=\dfrac {\sqrt 6}2$ 时取到等号．
题目
答案
解析
备注
