已知 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC,\angle ABC,\angle BCA$ 所对的边分别为 $a,b,c$，$AD\perp BC$，且 $AD$ 交 $BC$ 于点 $D$，$AD=a$，若 $\dfrac {\sin^2\angle ABC+\sin^2\angle BCA+\sin^2\angle BAC}{\sin\angle ABC\cdot\sin\angle BCA}\leqslant m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[2\sqrt 2,+\infty)$
【解析】
将题中恒成立条件用边表达为$$\dfrac {a^2+b^2+c^2}{bc}\leqslant m$$恒成立，即要求左边式子的最大值．
关键是如何利用题目中的条件：$BC$ 边的高与 $BC$ 的长相等，想利用高的条件可以考虑面积，即$$S_{\triangle ABC}=\dfrac 12a^2=\dfrac 12bc\sin A,$$于是我们得到 $a^2=bc\sin A$．再由余弦定理知$$b^2+c^2-a^2=2bc\cos A,$$于是有$$a^2+b^2+c^2=2bc\sin A+2bc\cos A=2\sqrt 2bc\sin\left(A+\dfrac {\pi}{4}\right),$$于是有$$m\geqslant \left[2\sqrt 2\sin\left(A+\dfrac {\pi}4\right)\right]_{\max}=2\sqrt 2.$$当 $A=\dfrac {\pi}4$ 时取到等号．
关键是如何利用题目中的条件：$BC$ 边的高与 $BC$ 的长相等，想利用高的条件可以考虑面积，即$$S_{\triangle ABC}=\dfrac 12a^2=\dfrac 12bc\sin A,$$于是我们得到 $a^2=bc\sin A$．再由余弦定理知$$b^2+c^2-a^2=2bc\cos A,$$于是有$$a^2+b^2+c^2=2bc\sin A+2bc\cos A=2\sqrt 2bc\sin\left(A+\dfrac {\pi}{4}\right),$$于是有$$m\geqslant \left[2\sqrt 2\sin\left(A+\dfrac {\pi}4\right)\right]_{\max}=2\sqrt 2.$$当 $A=\dfrac {\pi}4$ 时取到等号．
题目
答案
解析
备注
