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已知 $a,b,c,d\geqslant -1$，$a+b+c+d=0$，则 $ab+bc+cd$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    冻结变量法
【答案】
$\dfrac 54$
【解析】
情形一 若 $b\leqslant c$．则有\[\begin{split}
ab+bc+cd&=ab+bc-c(a+b+c)\\
&=a(b-c)-c^2\\
&\leqslant -(b-c)-c^2\\
&=-\left(c-\dfrac 12\right)^2-b+\dfrac 14\\
&\leqslant \dfrac 54,
\end{split}\]等号当 $(a,b,c,d)=\left(-1,-1,\dfrac 12,\dfrac 32\right)$ 取得．因此所求的最大值为 $\dfrac 54$．
情形二 若 $c\leqslant b$，那么我们将$$a=-b-c-d$$代入，与上面的步骤类似可以得到最大值为 $\dfrac 54$．
题目 答案 解析 备注
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