考虑函数$$h(x)=f(x)g(x)=x(x-1)\left(a-\dfrac {{\rm e}^x-1}{x}\right)\left(a-\dfrac {\ln x}{x-1}\right),$$要使得 $h(x)<0$ 在 $x\in (1,2)$ 上有解，只需要 $a$ 的值介于$$u(x)=\dfrac {{\rm e}^x-1}x,v(x)=\dfrac {\ln x}{x-1}$$在某点 $x_0$ 处的函数值之间．对它们分别求导得\[\begin{split} u'(x)=&\dfrac {{\rm e}^x(x-1)+1}{x^2}>0,\\v'(x)=&\dfrac{1-\dfrac 1x-\ln x}{(x-1)^2}=\dfrac {\ln\frac 1x-\left(\frac 1x-1\right)}{(x-1)^2}<0,\end{split} \]而\[u(2)=\dfrac 12({\rm e}^2-1),v(2)=\ln 2,\]它们的草图如下所以 $a$ 的取值范围是$$(v(2),u(2))=\left(\ln 2,\dfrac 12({\rm e}^2-1)\right).$$