设复数 $z$ 使得 $\dfrac{z}{10}$ 和 $\dfrac{10}{\overline{z}}$ 的实部和虚部都是不小于 $1$ 的正数，记 $z$ 在复平面上对应的点构成几何图形 $C$，则 $C$ 的面积是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
A
【解析】
设 $z=x+y{\rm i}$，其中 $x,y\in\mathbb R$．由于 $\dfrac{10}{\overline z}=\dfrac{10z}{|z|^2}$，于是\[\begin{cases} 0<\dfrac x{10}\leqslant 1,0<\dfrac y{10}\leqslant 1,\\ 0<\dfrac{10x}{x^2+y^2}\leqslant 1,0<\dfrac{10y}{x^2+y^2}\leqslant 1,\end{cases}\]即\[\begin{cases}0<x,y\leqslant 10,\\ (x-5)^2+y^2\geqslant 25,\\ x^2+(y-5)^2\geqslant 25,\end{cases}\]如图．容易求得其面积为 $75-\dfrac{25\pi}{2}$．
题目
答案
解析
备注
