如图，四边形 $ABCD$ 和 $ADPQ$ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 $M$ 在线段 $PQ$ 上，$E,F$ 分别为 $AB,BC$ 的中点．设异面直线 $EM$ 与 $AF$ 所成的角为 $\alpha$，则 $\cos \alpha$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2015年高考四川卷（理）
【标注】
【答案】
$\dfrac 25$
【解析】
如图，考虑三面角 $E-MNR$，其中 $N$ 为 $BF$ 的中点，$R$ 为 $CD$ 的中点．
设 $M-ER-N=\varphi$，$\langle \overrightarrow{EM},\overrightarrow{EN}\rangle =\theta$，则$$\tan\varphi=-2 , \cos\varphi=-\dfrac{1}{\sqrt 5},$$因此根据三射线定理，有\[\begin{split}\cos\theta&=\cos\angle MER\cdot \cos\angle NER+\sin\angle MER\cdot \sin\angle NER\cdot \cos\varphi\\
&=\cos\angle MER\cdot \dfrac{1}{\sqrt 5}+\sin\angle MER\cdot \dfrac{2}{\sqrt 5}\cdot \left(-\dfrac{1}{\sqrt 5}\right)\\
&=\dfrac{1}{\sqrt 5}\cos\angle MER-\dfrac 25\sin\angle MER.
\end{split}\]注意到当 $M$ 从 $P$ 运动到 $Q$ 时，$\angle MER$ 单调递增且为第一象限角，因此，上式关于 $\angle MER$ 单调递减．
当 $M=P$ 时，$\cos\angle MER=\dfrac23$，故$$\cos \theta=\dfrac{1}{\sqrt5}\cdot\dfrac23-\dfrac25\cdot\dfrac{\sqrt5}{3}=0,$$当 $M=Q$ 时，$\cos\angle MER=0$，故$$\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt5}\cdot0-\dfrac25\cdot1=-\dfrac25,$$因此 $-\dfrac25\leqslant\cos\theta\leqslant0$，故所求最大值为 $\dfrac25$．
设 $M-ER-N=\varphi$，$\langle \overrightarrow{EM},\overrightarrow{EN}\rangle =\theta$，则$$\tan\varphi=-2 , \cos\varphi=-\dfrac{1}{\sqrt 5},$$因此根据三射线定理，有\[\begin{split}\cos\theta&=\cos\angle MER\cdot \cos\angle NER+\sin\angle MER\cdot \sin\angle NER\cdot \cos\varphi\\&=\cos\angle MER\cdot \dfrac{1}{\sqrt 5}+\sin\angle MER\cdot \dfrac{2}{\sqrt 5}\cdot \left(-\dfrac{1}{\sqrt 5}\right)\\
&=\dfrac{1}{\sqrt 5}\cos\angle MER-\dfrac 25\sin\angle MER.
\end{split}\]注意到当 $M$ 从 $P$ 运动到 $Q$ 时，$\angle MER$ 单调递增且为第一象限角，因此，上式关于 $\angle MER$ 单调递减．
当 $M=P$ 时，$\cos\angle MER=\dfrac23$，故$$\cos \theta=\dfrac{1}{\sqrt5}\cdot\dfrac23-\dfrac25\cdot\dfrac{\sqrt5}{3}=0,$$当 $M=Q$ 时，$\cos\angle MER=0$，故$$\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt5}\cdot0-\dfrac25\cdot1=-\dfrac25,$$因此 $-\dfrac25\leqslant\cos\theta\leqslant0$，故所求最大值为 $\dfrac25$．
题目
答案
解析
备注
