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如图，四边形 $ABCD$ 和 $ADPQ$ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 $M$ 在线段 $PQ$ 上，$E,F$ 分别为 $AB,BC$ 的中点．设异面直线 $EM$ 与 $AF$ 所成的角为 $\alpha$，则 $\cos \alpha$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2015年高考四川卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    空间的角
    >
    异面直线所成的角
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    利用向量计算空间几何量
【答案】
$\dfrac 25$
【解析】
以 $A$ 为原点，$AB,AD,AQ$ 为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系，则有$$\overrightarrow{AF}=(2,1,0), E(1,0,0), M(0,m,0),$$其中 $m\in[0,2]$，从而有 $\overrightarrow{EM}=(-1,m,2)$，$$\cos\alpha=\left|\dfrac {m-2}{\sqrt 5\cdot\sqrt{5+m^2}}\right|,$$设 $t=2-m\in[0,2]$，则有$$\cos\alpha=\dfrac{t}{\sqrt{5(9-4t+t^2)}}=\dfrac 1{\sqrt 5}\cdot\dfrac 1{\sqrt{9\left(\frac 1t-\frac 29\right)^2+\frac 59}},$$因为 $\dfrac 1t\in\left[\dfrac 12,+\infty\right)$，所以当 $\dfrac 1t=\dfrac 12>\dfrac 29$ 时，$\cos\alpha$ 有最大值 $\dfrac 25$．
题目 答案 解析 备注
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