已知 $f(x)=\left|x{\rm e}^x\right|$，又 $g(x)=f^2(x)-tf(x)$（$t\in\mathbb R$），若满足 $g(x)=-1$ 的 $x$ 有四个，则 $t$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left({\rm e}+{\rm e}^{-1},+\infty\right)$
【解析】
方程 $g(x)=-1$，即\[f^2(x)-tf(x)+1=0,\]也即\[t=f(x)+\dfrac{1}{f(x)}.\]考虑复合函数\[y=u+\dfrac 1u,u=\left|x{\rm e}^x\right|\]以及直线 $y=t$．
由于函数 $u=\left|x{\rm e}^x\right|$ 的图象如图，因此函数 $y=u+\dfrac 1u$ 的图象和直线 $y=t$ 有两个公共点，且它们的横坐标 $u_1,u_2$ 满足$$0<u_1<{\rm e}^{-1}<u_2,$$因此对应的 $t$ 的取值范围是 $\left({\rm e}+{\rm e}^{-1},+\infty\right)$．
由于函数 $u=\left|x{\rm e}^x\right|$ 的图象如图，因此函数 $y=u+\dfrac 1u$ 的图象和直线 $y=t$ 有两个公共点，且它们的横坐标 $u_1,u_2$ 满足$$0<u_1<{\rm e}^{-1}<u_2,$$因此对应的 $t$ 的取值范围是 $\left({\rm e}+{\rm e}^{-1},+\infty\right)$．
题目
答案
解析
备注
