设 $\triangle ABC$ 的另一直角边为 $x$，斜边为 $y$，则 $x<y$，且 $x,y\in\mathbb N^*$，依据勾股定理，有$$y^2-x^2=(y-x)(y+x)=2^5\cdot3^2\cdot7,$$令 $(m,n)=(y-x,y+x)$，则\[(x,y)=\left(\dfrac{n-m}2,\dfrac{n+m}2\right),\]即\[m\cdot n=2^5\cdot 3^2\cdot 7,\]且 $0<m<n$，$m$ 与 $n$ 同奇偶．考虑到\[m\ne \dfrac{2^5\cdot 3^2\cdot 7}m,\]于是所有可能的解的个数\[\dfrac{(6-2)\cdot 3\cdot 2}2=12.\]而斜边长\[y=\dfrac 12(n+m)=\dfrac 12\left(m+\dfrac{2^5\cdot 3^2\cdot 7}m\right),\]随着 $m$ 的减小而增大，而 $m$ 的最小值为 $2$，因此 $y$ 的最大值为\[\dfrac 12\left(2+2^4\cdot 3^2\cdot 7\right)=505.\]