题目 设抛物线 $C_1:y^2=2x$，圆 $(x-3)^2+y^2=r^2$（$r>0$），若 $C_1$ 与 $C_2$ 有 $4$ 个交点 $ABCD$，则 $r$ 的取值范围是<nn> </nn>，若 $AC$ 与 $BD$ 的交点是 $C_1$ 的焦点，则 $r=$ <nn> </nn>． 答案 $\left(\sqrt5,3\right)$，$\dfrac{\sqrt{35}}{2}$ 解析 略 备注 联立抛物线 $C_1$ 与圆 $C_2$，整理得$$x^2-4x+9-r^2=0,$$则 $C_1$ 与 $C_2$ 有四个交点，即上述方程有两个不相等的正根，则$$\begin{cases}\Delta=16-4\left(9-r^2\right)>0,\\9-r^2>0,\end{cases}$$解得 $r$ 的取值范围是 $\left(\sqrt5,3\right)$．<br/>设 $A(x_1,y_1)$，$C(x_2,y_2)$，则根据抛物线的几何平均性质，有\[x_1\cdot x_2=\left(\dfrac 12\right)^2,\]因此\[9-r^2=\dfrac 14,\]解得 $r=\dfrac{\sqrt {35}}2$．