已知函数$$f(x)=|x+1|+|x+2|+\cdots +|x+2016|+|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-2016|,$$且 $f(a^2-3a+2)=f(a-1)$，则满足条件的所有整数 $a$ 的和是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$6$
【解析】
函数 $f(x)$ 是偶函数，且在区间$$(-\infty,-2016],[-2016,-2015],\cdots ,[-2,-1],[-1,1],[1,2],\cdots ,[2015,2016],[2016,+\infty)$$上的斜率分别为$$-4032,-4030,\cdots ,-2,0,2,\cdots ,4030,4032,$$因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1]$ 上单调递减，在 $[-1,1]$ 上恒为常数，在 $[1,+\infty)$ 上单调递增．因此整数 $a$ 满足$$|a^2-3a+2|=|a-1|$$或$$\begin{cases} a^2-3a+2 \in [-1,1],\\ a-1\in [-1,1],\end{cases}$$解得 $a=1,2,3$，因此所有的整数 $a$ 的和是 $6$．
题目
答案
解析
备注
