已知函数 $f(x)=\begin{cases} -x^2+2x,&x\geqslant 0,\\x^2-2x,&x<0.\end{cases}$ 若关于 $x$ 的不等式 $[f(x)]^2+af(x)-b^2<0$ 仅有一个整数解，则实数 $a$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
若 $b\neq0$，则 $x=0,2$ 均满足原不等式，与题设矛盾，故 $b=0$．依题意求 $a$ 的最大值，因此仅需考察 $a>0$ 的情况，则 $-a<f(x)<0$．结合 $f(x)$ 的图像调整直线 $y=-a$ 的位置使得 $f(x)$ 在 $y=0$（不含）与 $y=-a$（不含）之间的图像投影到 $x$ 轴上时仅有一个点的横坐标为整数，易得 $a_{\mathrm{max}}=8$．
题目
答案
解析
备注
