在 $\Delta ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别是 $a$，$b$，$c$．$M$ 是 $BC$ 的中点，$BM=2$，$AM=c-b$，则 $\Delta ABC$ 面积的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt3$
【解析】
由中线长定理可知$$AC^2+AB^2=2(AM^2+MB^2),$$即$$b^2+c^2=2[2^2+(c-b)^2],$$整理可得$$b^2+c^2=4bc-8,$$又由余弦定理有$$16=a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=4bc-8-2bc\cos A,$$整理得 $bc=\dfrac{12}{2-\cos A},0<A<\dfrac{\pi}{2}$，于是$$S_{\Delta ABC}=\dfrac12bc\sin A=\dfrac{6\sin A}{2-\cos A}\leqslant 2\sqrt3,$$当且仅当 $A=\dfrac{\pi}{3}$ 时取得最大值．
题目
答案
解析
备注
