已知函数 $f(x)=\dfrac{2x^2+bx+c}{x^2+1}$（$b<0$）的值域为 $[1,3]$，则 $b=$ ，$c=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-2$，$2$
【解析】
由于$$f(x)=2+\dfrac{bx+c-2}{x^2+1},$$于是问题转化为函数\[\varphi(x)=\dfrac{x^2+1}{bx+c-2}\]的值域为 $(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$．
注意到该值域关于 $0$ 对称，因此 $c-2=0$，否则令 $t=bx+c-2$ 则函数 $\varphi(x)$ 必然为\[\dfrac tb+p+\dfrac qt \]的形式，其中 $ p,q\ne 0$．该函数的值域不可能关于 $0$ 对称．因此 $c=2$，且\[\varphi(x)=\dfrac 1b\left(x+\dfrac 1x\right),\]进而可得 $b=-2$．
综上所述，有 $(b,c)=(-2,2)$．
注意到该值域关于 $0$ 对称，因此 $c-2=0$，否则令 $t=bx+c-2$ 则函数 $\varphi(x)$ 必然为\[\dfrac tb+p+\dfrac qt \]的形式，其中 $ p,q\ne 0$．该函数的值域不可能关于 $0$ 对称．因此 $c=2$，且\[\varphi(x)=\dfrac 1b\left(x+\dfrac 1x\right),\]进而可得 $b=-2$．
综上所述，有 $(b,c)=(-2,2)$．
题目
答案
解析
备注
