已知 $x,y,z\in\mathbb R^+$，$\sqrt{x^2+y^2}+z=1$，则 $xy+2xz$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt3}{3}$
【解析】
由题有 $x^2=(1-z)^2-y^2$，则$$\begin{split} xy+2xy&=x(y+2z)\\
&=\sqrt{x^2\cdot(y+2z)^2}\\
&=\sqrt{\dfrac13(3-3z-3y)(1-z+y)(y+2z)(y+2z)}\\
&\leqslant\sqrt{\dfrac13\cdot\left(\dfrac{(3-3z-3y)+(1-z+y)+(y+2z)+(y+2z)}{4}\right)^4}\\&=\dfrac{\sqrt3}3.\end{split}$$当且仅当 $3-3z-3y=1-z+y=y+2z$，即 $(x,y,z)=(\dfrac{\sqrt3}3,\dfrac13,\dfrac13)$ 时取得最大值．
&=\sqrt{x^2\cdot(y+2z)^2}\\
&=\sqrt{\dfrac13(3-3z-3y)(1-z+y)(y+2z)(y+2z)}\\
&\leqslant\sqrt{\dfrac13\cdot\left(\dfrac{(3-3z-3y)+(1-z+y)+(y+2z)+(y+2z)}{4}\right)^4}\\&=\dfrac{\sqrt3}3.\end{split}$$当且仅当 $3-3z-3y=1-z+y=y+2z$，即 $(x,y,z)=(\dfrac{\sqrt3}3,\dfrac13,\dfrac13)$ 时取得最大值．
题目
答案
解析
备注
