若 $M,N,P,Q$ 分别是正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱 $D_1C_1,BC,A_1D_1,DC$ 的中点，则 $MN$ 与 $PQ$ 所成角的正弦值是 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac {\sqrt 5}{3}$
【解析】
取 $AC$ 中点 $O$，连接 $A_1O,D_1O$，则$$A_1O\parallel PQ,D_1O\parallel MN,$$所以 $A_1O$ 与 $D_1O$ 所成角即为 $PQ$ 与 $MN$ 所成的角．设正方体棱长为 $2$，则$$A_1O=D_1O=\sqrt 6,A_1D_1=2,$$所以$$\cos {\angle{A_1OD_1}}=\dfrac 23,$$所以 $PQ$ 与 $MN$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{\sqrt 5}{3}$．
题目
答案
解析
备注
