已知 $x,y,z\in \mathbb{R}$，满足 $x+y+z=1$，$x^2+y^2+z^2=1$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
ACD
【解析】
因为\[
(x+y)^2=(1-z)^2\leqslant 2\left(x^2+y^2\right)=2\left(1-z^2\right),
\]所以 $-\dfrac{1}{3}\leqslant z \leqslant 1$，等号显然可以取到．故选项A对，选项B错．
由 $x+y+z=1, x^2+y^2+z^2=1$，可知 $xy+yz+zx=0$．设 $xyz=c$，则 $x,y,z$ 是关于 $t$ 的方程\[
t^3-t^2-c=0
\]的三个实根．令 $f(t)=t^3-t^2-c$，求导可得\[\begin{cases}
f\left(0\right)=-c\geqslant 0,\\
f\left(\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{4}{27}-c\leqslant 0,
\end{cases}\]所以 $-\dfrac{4}{27}\leqslant c=xyz \leqslant 0$，等号显然可以取到．故选项C和D都对．
(x+y)^2=(1-z)^2\leqslant 2\left(x^2+y^2\right)=2\left(1-z^2\right),
\]所以 $-\dfrac{1}{3}\leqslant z \leqslant 1$，等号显然可以取到．故选项A对，选项B错．
由 $x+y+z=1, x^2+y^2+z^2=1$，可知 $xy+yz+zx=0$．设 $xyz=c$，则 $x,y,z$ 是关于 $t$ 的方程\[
t^3-t^2-c=0
\]的三个实根．令 $f(t)=t^3-t^2-c$，求导可得\[\begin{cases}
f\left(0\right)=-c\geqslant 0,\\
f\left(\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{4}{27}-c\leqslant 0,
\end{cases}\]所以 $-\dfrac{4}{27}\leqslant c=xyz \leqslant 0$，等号显然可以取到．故选项C和D都对．
题目
答案
解析
备注
