若函数 $f\left(\dfrac 1x\right)=\dfrac 1{x^2+1}$，则 $f\left(\dfrac 1{2013}\right)+f\left(\dfrac 1{2012}\right)+f\left(\dfrac 1{2011}\right)+\cdots +f\left(\dfrac 12\right)+f\left(1\right)+f\left(2\right)+\cdots +f(2011)+f(2012)+f(2013)$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$2012.5$
【解析】
因为$$f\left(\dfrac 1x\right)=\dfrac 1{x^2+1},$$所以$$f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1},$$因此$$f(x)+f\left(\dfrac 1x\right)=1.$$所以\[f\left(\dfrac 1{2013}\right)+\cdots +f\left(\dfrac 12\right)+f\left(1\right)+f\left(2\right)+\cdots +f(2013)=2012+f(1)=2012.5.\]
题目
答案
解析
备注
