已知 $\sin\theta=\dfrac{m^2+1}{4|m|}$，则 $\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\left[-1,\dfrac 12\right]$
【解析】
因为\[\begin{split}\sin \theta&=\dfrac{m^2+1}{4|m|}\\&=\dfrac 14 \left(|m|+\dfrac 1{|m|}\right)\\&\geqslant \dfrac 12,\end{split}\]所以$$\dfrac 12\leqslant \sin \theta \leqslant 1.$$所以$$\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\leqslant \theta \leqslant \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,k\in \mathbb Z$$进而可得$$-1\leqslant \cos \left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)\leqslant \dfrac 12.$$
题目
答案
解析
备注
