已知集合 $A=\{x\mid x^2+2x+3+a^2=0,x\in \mathbb R\}$，集合 $B=\left\{x\mid 2^{x^2+2x+3}\geqslant a,x\in\mathbb R\right\}$，若 $A\cup B=\mathbb R$，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$a\leqslant 4$
【解析】
因为方程 $x^2+2x+3+a^2=0$ 根的判别式$$\Delta=4-4(3+a^2)=-8-4a^2<0,$$所以$$A=\varnothing.$$因为 $A\cup B=\mathbb R$，所以$$B=\mathbb R.$$所以$$\forall x\in {\mathbb R},a\leqslant 2^{x^2+2x+3}.$$而$$2^{x^2+2x+3}=2^{(x+1)^2+2}\geqslant 4,$$所以$$a\leqslant 4.$$
题目
答案
解析
备注
