在 $\triangle{ABC}$ 中，$a,b,c$ 分别是角 $A,B,C$ 的对边，若 $a+c=2b$，$B=30^{\circ}$，并且 $\triangle{ABC}$ 的面积为 $\dfrac 32$，则 $\triangle{ABC}$ 的外接圆半径的长是 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\sqrt 3+1$
【解析】
因为 $B=30^{\circ}$，$S_{\triangle{ABC}}=\dfrac 32$，所以$$\dfrac 12 ac\sin B=\dfrac 32,$$所以$$ac=6.$$又 $a+c=2b$，所以\[a^2+c^2=4b^2-2ac=4b^2-12.\]由余弦定理得$$\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{\sqrt 3}{2},$$所以$$b=\sqrt 3+1,$$设 $\triangle{ABC}$ 外接圆半径为 $R$，由正弦定理得$$2R=\dfrac{b}{\sin B},$$所以$$R=\sqrt 3+1.$$
题目
答案
解析
备注
