若不等式 $4^{x-1}-m\cdot 2^x+m>0$ 对一切 $x\in [2,4]$ 都成立，则实数 $m$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,-\dfrac 43\right]$
【解析】
设 $t=2^x$，因为 $x\in [2,4]$，所以$$4\leqslant t\leqslant 16 ,$$不等式化为$$\forall t \in [4,16],t^2-4mt+4m>0.$$即$$\forall t\in [4,16],4m<\dfrac{t^2}{t-1}.$$因为\[\begin{split}\dfrac{t^2}{t-1}&=\dfrac{(t-1)^2+2(t-1)+1}{t-1}\\&=t-1+\dfrac 1{t-1}+2\\&\geqslant \dfrac{16}{3},\end{split}\]所以$$4m<\dfrac {16}{3},$$即$$m<\dfrac 43.$$
题目
答案
解析
备注
