如图所示，圆 $O$ 的直径 $AB=6$，$C$ 为圆周上一点，$BC=3$，过 $C$ 作圆 $O$ 的切线 $l$，从 $A$ 作 $l$ 的垂线 $AD$，垂足为 $D$，交圆 $O$ 于 $E$，则 $AE=$ ，$CD=$ ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$3$；$\dfrac{3\sqrt 3}{2}$
【解析】
连接 $OE,OC$，因为 $l$ 为切线，所以$$OC\perp l.$$因为 $OB=OC=BC$，所以 $\triangle{OCB}$ 为等边三角形．
又因为 $AD\perp l $，所以$$AD\parallel OC,$$所以$$\angle{DAO}=\angle{COB}=60^{\circ},$$结合 $OA=OE=3$ 可知 $\triangle{AOE}$ 为等边三角形，所以\[\begin{split}AE=3,CD=OE\cdot \sin{60^{\circ}}=\dfrac{3\sqrt 3}{2}.\end{split}\]
又因为 $AD\perp l $，所以$$AD\parallel OC,$$所以$$\angle{DAO}=\angle{COB}=60^{\circ},$$结合 $OA=OE=3$ 可知 $\triangle{AOE}$ 为等边三角形，所以\[\begin{split}AE=3,CD=OE\cdot \sin{60^{\circ}}=\dfrac{3\sqrt 3}{2}.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
