已知函数 $f(x)=-\left(\dfrac 12\right)^{|x-1|}$，$g(x)=x^2-6x+7$，则这两个函数的值域的交集是 ；若在集合 $A$ 中，对任意 $a\in A$，总存在 $b$ 使得 $g(a)=f(b)$ 成立，则 $A=$ ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$[-1,0)$；$\left(3-\sqrt 2,2\right]\cup\left[4,3+\sqrt 2\right)$
【解析】
函数 $f(x)=-\left(\dfrac 12\right)^{|x-1|}$ 的值域为 $[-1,0)$，函数 $g(x)=x^2-6x+7$ 的值域为 $[-2,+\infty)$，所以两个函数的值域的交集是 $[-1,0)$．
因为 $\forall a\in A$，$\exists b$ 使得 $g(a)=f(b)$ 成立，所以\[-1\leqslant a^2-6a+7<0,\]解得$$3-\sqrt 2<a\leqslant 2\lor 4\leqslant a<3+\sqrt 2.$$即$$A=\left(3-\sqrt 2,2\right]\cup\left[4,3+\sqrt 2\right).$$
因为 $\forall a\in A$，$\exists b$ 使得 $g(a)=f(b)$ 成立，所以\[-1\leqslant a^2-6a+7<0,\]解得$$3-\sqrt 2<a\leqslant 2\lor 4\leqslant a<3+\sqrt 2.$$即$$A=\left(3-\sqrt 2,2\right]\cup\left[4,3+\sqrt 2\right).$$
题目
答案
解析
备注
