设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=5$，$a_2=13$，$a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}^2+6^n}{a_n} \left(n\in \mathbb{N}^{*}\right)$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
ABD
【解析】
由题意，$a_n>0$ 对任意 $n\in \mathbb{N}^{*}$ 恒成立，故\[\begin{split}
&a_{n+3}a_{n+1}-a_{n+2}^2=6^{n+1}=6\left(a_{n+2}a_n-a_{n+1}^2\right)\\
\Rightarrow{}&a_{n+3}a_{n+1}+6a_{n+1}^2=a_{n+2}^2+6a_{n+2}a_n\\
\Rightarrow{}&a_{n+1}\left(a_{n+3}+6a_{n+1}\right)=a_{n+2}\left(a_{n+2}+6a_n\right)\\
\Rightarrow{}&\dfrac{a_{n+3}+6a_{n+1}}{a_{n+2}}=\dfrac{a_{n+2}+6a_n}{a_{n+1}}\\
\Rightarrow{}&\dfrac{a_{n+2}+6a_n}{a_{n+1}}=\dfrac{a_3+6a_1}{a_2}=\dfrac{35+6\cdot 5}{13}=5,
\end{split}\]因此 $a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$ 对任意 $n\in \mathbb{N}^{*}$ 恒成立，A选项正确，进而B选项也正确．
由于 $a_2=13<4^2$，故C选项错误．
由特征根法，可得数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式\[
a_n=2^n+3^n.
\]因为 $a_6=793$，$a_7=2315$，且数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调递增，故选项D正确．
&a_{n+3}a_{n+1}-a_{n+2}^2=6^{n+1}=6\left(a_{n+2}a_n-a_{n+1}^2\right)\\
\Rightarrow{}&a_{n+3}a_{n+1}+6a_{n+1}^2=a_{n+2}^2+6a_{n+2}a_n\\
\Rightarrow{}&a_{n+1}\left(a_{n+3}+6a_{n+1}\right)=a_{n+2}\left(a_{n+2}+6a_n\right)\\
\Rightarrow{}&\dfrac{a_{n+3}+6a_{n+1}}{a_{n+2}}=\dfrac{a_{n+2}+6a_n}{a_{n+1}}\\
\Rightarrow{}&\dfrac{a_{n+2}+6a_n}{a_{n+1}}=\dfrac{a_3+6a_1}{a_2}=\dfrac{35+6\cdot 5}{13}=5,
\end{split}\]因此 $a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$ 对任意 $n\in \mathbb{N}^{*}$ 恒成立，A选项正确，进而B选项也正确．
由于 $a_2=13<4^2$，故C选项错误．
由特征根法，可得数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式\[
a_n=2^n+3^n.
\]因为 $a_6=793$，$a_7=2315$，且数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调递增，故选项D正确．
题目
答案
解析
备注
