已知 $xOy$ 坐标平面内的点 $A(1,1),B,C,D,E$,若 $B$ 在曲线 $y=\sqrt x$ 上,$C,D,E$ 在正 $x$ 轴上,并且 $OC<OD<OE$,$\triangle{ADC}$ 和 $\triangle{BED}$ 都是正三角形,则直线 $DB$ 的方程是 ,点 $B$ 的横坐标是
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一(一试)
【标注】
【答案】
$y=\sqrt 3x-(\sqrt 3+1)$;$\dfrac{4+2\sqrt 3}{3}$
【解析】
因为 $A(1,1)$,$\triangle{ACD}$ 为等边三角形,所以$$\dfrac 12 CD=\dfrac 1{\tan{60^{\circ}}}=\dfrac{\sqrt 3}{3},$$所以$$x_D=1+\dfrac {\sqrt 3}{3},$$所以$$DB:y=\sqrt 3\left(x-1-\dfrac {\sqrt 3}{3}\right)=\sqrt 3x-\sqrt 3-1.$$直线 $DB$ 方程与 $y=\sqrt x$ 联立可得$$\sqrt 3x-\sqrt 3-1=\sqrt x,$$解得$$x=\dfrac{4+2\sqrt 3}{3}.$$即点 $B$ 的横坐标为 $\dfrac{4+2\sqrt 3}{3}$.
题目 答案 解析 备注
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