已知 $xOy$ 坐标平面内的点 $A(1,1),B,C,D,E$，若 $B$ 在曲线 $y=\sqrt x$ 上，$C,D,E$ 在正 $x$ 轴上，并且 $OC<OD<OE$，$\triangle{ADC}$ 和 $\triangle{BED}$ 都是正三角形，则直线 $DB$ 的方程是 ，点 $B$ 的横坐标是 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$y=\sqrt 3x-(\sqrt 3+1)$；$\dfrac{4+2\sqrt 3}{3}$
【解析】
因为 $A(1,1)$，$\triangle{ACD}$ 为等边三角形，所以$$\dfrac 12 CD=\dfrac 1{\tan{60^{\circ}}}=\dfrac{\sqrt 3}{3},$$所以$$x_D=1+\dfrac {\sqrt 3}{3},$$所以$$DB:y=\sqrt 3\left(x-1-\dfrac {\sqrt 3}{3}\right)=\sqrt 3x-\sqrt 3-1.$$直线 $DB$ 方程与 $y=\sqrt x$ 联立可得$$\sqrt 3x-\sqrt 3-1=\sqrt x,$$解得$$x=\dfrac{4+2\sqrt 3}{3}.$$即点 $B$ 的横坐标为 $\dfrac{4+2\sqrt 3}{3}$．
题目
答案
解析
备注
