侧棱长都是 $6$ 的三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA\perp PB$，$PA\perp PC$，$\angle{BPC}=60^{\circ}$，$M,N$ 分别是 $PA,BC$ 的中点，则 $MN=$ ，三棱锥 $A-BMN$ 的体积是 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$6$；$\dfrac{9\sqrt 3}{2}$
【解析】
如图：因为 $M,N$ 分别为 $PA,BC$ 中点，所以\[\begin{split}2\overrightarrow{MN}&=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{AC}\\&=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA},\end{split}\]因为$$PA\perp PB,PA\perp PC,\angle{BPC}=60^{\circ},$$所以$$4MN^2=PB^2+PA^2+PC^2+2\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC},$$又 $PA=PB=PC=6$，所以$$MN=6.$$因为$$V_{P-ABC}=\dfrac 13\cdot \dfrac 12 \cdot 6\cdot 6\cdot \sin{60^{\circ}}\cdot 6=18\sqrt 3, $$所以$$V_{A-BMN}=V_{P-BMN}=V_{M-PBN}=\dfrac 14 V_{P-ABC}=\dfrac{9\sqrt 3}{2}.$$
题目
答案
解析
备注
