若点 $P(-3,1)$，$Q(3,4)$ 是某正方形的两个顶点，点 $R(x,y)$ 是这个正方形的另一个顶点并且在直线 $PQ$ 的下方，则点 $R$ 的坐标是 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$(6,-2)$ 或 $(0,-5)$ 或 $\left(\dfrac 32,-\dfrac 12\right)$
【解析】
如图所示：当 $PQ$ 为正方形对角线时，设PQ中点为 $A$，则 $A(0,2.5)$，所以$$\begin{cases}R_1A=\dfrac 12PQ=\dfrac{3\sqrt 5}{2},\\ \overrightarrow{PR_1}\cdot \overrightarrow{QR_1}=0,\end{cases}$$可求得 $R_1(1.5,-0.5)$；
当 $PQ$ 为正方形一边时，$$\begin{cases}\overrightarrow{PR_2}\cdot \overrightarrow{PQ}=0,\\ PR_2=PQ=4\sqrt 5\end{cases}\lor \begin{cases}\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{QR_3}=0,\\ QR_3=PQ=4\sqrt 5.\end{cases}$$可求得 $R_2(0,-5),R_3(6,-2)$．
当 $PQ$ 为正方形一边时，$$\begin{cases}\overrightarrow{PR_2}\cdot \overrightarrow{PQ}=0,\\ PR_2=PQ=4\sqrt 5\end{cases}\lor \begin{cases}\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{QR_3}=0,\\ QR_3=PQ=4\sqrt 5.\end{cases}$$可求得 $R_2(0,-5),R_3(6,-2)$．
题目
答案
解析
备注
