已知幂函数 $f(x)=x^{m^2-2m-3}$（$m\in \mathbb Z$）的图象与 $x$ 轴，$y$ 轴都没有交点，但是关于 $y$ 轴对称，那么 $f(x)=$ ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$x^0$ 或 $x^{-4}$
【解析】
因为幂函数 $f(x)$ 的图象与 $x$ 轴，$y$ 轴都没有交点，所以$$m^2-2m-3\leqslant 0,$$结合 $m\in \mathbb Z$ 可知$$m=-1,0,1,2,3.$$又因为函数 $f(x)$ 图象关于 $y$ 轴对称，即函数为偶函数，所以$$m=-1,1,3.$$当 $m=-1\lor 3$ 时，$$f(x)=x^0;$$当 $m=1$ 时，$$f(x)=x^{-4}.$$所以$$f(x)=x^0\lor f(x)=x^{-4}.$$
题目
答案
解析
备注
