命题 $p$：已知函数 $f(x)=\dfrac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$（$a$ 是不等于 $0$ 的常数），若 $f(x)$ 在区间 $(0,1]$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,0)\cup (1,2]$．
命题 $q$：由于偶函数满足对于定义域内的任何一个 $x$ 都有 $f(x)=f(-x)$，所以它不是一一对应关系，故偶函数一定不存在反函数．
则 $(\neg p)\lor (\neg q)$ 是 命题（填“真”或“假”）．
命题 $q$：由于偶函数满足对于定义域内的任何一个 $x$ 都有 $f(x)=f(-x)$，所以它不是一一对应关系，故偶函数一定不存在反函数．
则 $(\neg p)\lor (\neg q)$ 是
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
真
【解析】
对于 $p$：当 $a=0$ 时，$f(x)$ 为常函数，无单调性；
当 $a<0$ 时，$f(x)=\dfrac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$ 在定义域 $\left[\dfrac 2a,+\infty\right)$ 上单调递减，符合题意；
当 $a>0$ 时，若函数 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上单调递减，则需满足$$\begin{cases}a>0,\\ a-1>0,\\ 1\leqslant \dfrac 2a,\end{cases}$$解得$$1<a\leqslant 2.$$综上，$$a<0\lor 1<a\leqslant 2.$$所以 $p$ 为真命题；
对于 $q$：函数 $f(x)=0$，$x=0$ 即为偶函数，但存在反函数，故 $q$ 为假命题．
所以 $(\neg p)\lor (\neg q)$ 为真命题．
当 $a<0$ 时，$f(x)=\dfrac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$ 在定义域 $\left[\dfrac 2a,+\infty\right)$ 上单调递减，符合题意；
当 $a>0$ 时，若函数 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上单调递减，则需满足$$\begin{cases}a>0,\\ a-1>0,\\ 1\leqslant \dfrac 2a,\end{cases}$$解得$$1<a\leqslant 2.$$综上，$$a<0\lor 1<a\leqslant 2.$$所以 $p$ 为真命题；
对于 $q$：函数 $f(x)=0$，$x=0$ 即为偶函数，但存在反函数，故 $q$ 为假命题．
所以 $(\neg p)\lor (\neg q)$ 为真命题．
题目
答案
解析
备注
