已知 $x,y,z\in \mathbb R^+$，且 $3^x=4^y=6^z$．则 $3x,4y,6z$ 的关系从小到大应为 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$3x<4y<6z$
【解析】
设$$3^x=4^y=6^z=k(k>1),$$则$$x={\log_3}k,y={\log_4}k,z={\log_6}k.$$所以$$\dfrac{3x}{4y}=\dfrac 34\cdot \dfrac{\lg k}{\lg 3}\cdot \dfrac{\lg 4}{\lg k}=\dfrac{\lg{4^3}}{\lg{3^4}}<1,$$所以$$3x<4y.$$同理$$\dfrac{4y}{6z}=\dfrac 23 \cdot \dfrac{\lg k}{\lg 4}\cdot \dfrac{\lg 6}{\lg k}=\dfrac{\lg {6^2}}{\lg{4^3}}<1,$$所以$$4y<6z.$$所以$$3x<4y<6z.$$
题目
答案
解析
备注
