若等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，且 $a_9-a_4=2a_3$，$a_m+a_n=2a_5$，则 $\dfrac{2a_ma_n}{3a_1d}$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$27$
【解析】
由$$a_9-a_4=2a_3$$可得$$d=2a_1,$$又因为$$a_m+a_n=2a_5,$$所以$$m+n=10.$$则\[\begin{split}\dfrac{2a_ma_n}{3a_1d}&=\dfrac{2\left[a_1+(m-1)\cdot 2a_1\right]\left[a_1+(n-1)\cdot 2a_1\right]}{3a_1\cdot 2a_1}\\&=\dfrac{(2m-1)(2n-1)}{3}\\&\leqslant \dfrac 13\left(\dfrac{2m-1+2n-1}{2}\right)^2\\&=27.\end{split}\]当且仅当 $m=n=5$ 时，上式取得最大值 $27$．
题目
答案
解析
备注
