若 $(2a+b)^3+a^3+3a+b=0$，则 ${\log_{9}}(6a+2b+3)=$ ．
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac 12$
【解析】
令 $3a+b=x$，则 $b=x-3a$，代入题中等式可得\[(x-a)^3+a^3+x=0,\]即$$x^3-3ax^2+3a^2x+x=0,$$所以$$x=0\lor x^2-3ax+3a^2+1=0.$$因为方程 $x^2-3ax+3a^2+1=0$ 的根的判别式$$\Delta=9a^2-4(3a^2+1)<0,$$所以 $x=0$，即$$3a+b=0.$$
题目
答案
解析
备注
