已知数列 $\{a_n\}$ 满足条件，$a_1=a$（$a\ne 0$ 且 $a\ne \pm 1$），$a_{n+1}=\dfrac{1+a_n}{1-a_n}$，则 $a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \cdots \cdot a_{2016}$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
由 $a_{n+1}=\dfrac{1+a_n}{1-a_n}$，可得\[\begin{split}&a_{n+2}=\dfrac{1+\dfrac{1+a_n}{1-a_n}}{1-\dfrac{1+a_n}{1-a_n}}=-\dfrac 1{a_n},\\&a_{n+3}=\dfrac{1+\left(-\dfrac1{a_n}\right)}{1-\left(-\dfrac 1{a_n}\right)}=\dfrac{a_n-1}{a_n+1},\\&a_{n+4}=\dfrac{1+\dfrac{a_n-1}{a_n+1}}{1-\dfrac{a_n-1}{a_n+1}}=a_n,\end{split}\]因此 $\{a_n\}$ 是周期为 $4$ 的数列，且$$a_n\cdot a_{n+1}\cdot a_{n+2}\cdot a_{n+3}=1.$$设 $M=a_1\cdot a_2\cdot \cdots \cdot a_{2016}$，则$$M=1^{504}=1.$$
题目
答案
解析
备注
