实系数方程 $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ 的根都不是实数，其中两个根的和为 $2+\mathrm{i}$，另两根的积为 $5+6\mathrm{i}$，则 $b$ 的值等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年北京大学自主招生数学试题
【标注】
【答案】
C
【解析】
设方程的 $4$ 个虚根分别为 $z_1,z_2,z_3,z_4$，其中 $z_2=\overline{z_1}$，$z_4=\overline{z_3}$．由题意，
不妨设 $z_1+z_3=2+\mathrm{i}$，$z_2z_4=5+6\mathrm{i}$，则\begin{align*}
b
&=z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4\\
&=\left(z_1z_3+z_2z_4\right)+\left(z_1z_2+z_1z_4+z_2z_3+z_3z_4\right)\\
&=\left(\overline{z_2z_4}+z_2z_4\right)+\left(z_1+z_3\right)\left(z_2+z_4\right)\\
&=\left(\overline{z_2z_4}+z_2z_4\right)+\left(z_1+z_3\right)\left(\overline{z_1+z_3}\right)\\
&=10+5\\
&=15.
\end{align*}
不妨设 $z_1+z_3=2+\mathrm{i}$，$z_2z_4=5+6\mathrm{i}$，则\begin{align*}
b
&=z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4\\
&=\left(z_1z_3+z_2z_4\right)+\left(z_1z_2+z_1z_4+z_2z_3+z_3z_4\right)\\
&=\left(\overline{z_2z_4}+z_2z_4\right)+\left(z_1+z_3\right)\left(z_2+z_4\right)\\
&=\left(\overline{z_2z_4}+z_2z_4\right)+\left(z_1+z_3\right)\left(\overline{z_1+z_3}\right)\\
&=10+5\\
&=15.
\end{align*}
题目
答案
解析
备注
