已知集合 $M=\{x\mid x=2^n,n\in{\mathbb Z},0\leqslant n\leqslant 2015\}$，则 $M$ 中的最大数是 位数；把 $M$ 中最高位是 $1$ 的数都去掉，则新的集合中有 个数．（取 ${\lg }2=0.30103$）
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$607$；$1409$
【解析】
集合 $M$ 中最大的数为 $2^{2015}$，设 $k=2^{2015}$，两边同时取对数得$$\lg k=2015 \lg 2=606.57545,$$所以$$k=10^{606.57545},$$因此 $k$ 为 $607$ 位数；
同理设 $m=2^n$，$n=0,1,2,\cdots ,2015$，有$$m=10^{0.30103n},n=0,1,2,\cdots,2015.$$所以集合 $M$ 中的数位数每增加一位时，最高位是 $1$ 的数均只有 $1$ 个，故去掉所有最高位为 $1$ 的数后，剩余元素的个数为$$2016-607=1409.$$
同理设 $m=2^n$，$n=0,1,2,\cdots ,2015$，有$$m=10^{0.30103n},n=0,1,2,\cdots,2015.$$所以集合 $M$ 中的数位数每增加一位时，最高位是 $1$ 的数均只有 $1$ 个，故去掉所有最高位为 $1$ 的数后，剩余元素的个数为$$2016-607=1409.$$
题目
答案
解析
备注
