函数 $y=\dfrac{2\sin x-\cos{2x}+3}{\sin ^2{x}+1}$ 的最小值是 ，最大值是 ．
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$1$；$3$
【解析】
函数可化为\[\begin{split}y&=\dfrac{2\sin x-\left(1-2\sin ^2 x\right)+3}{\sin ^2 x+1}\\&=\dfrac{2\left(\sin ^2 x+\sin x+1\right)}{\sin ^2 x+1}\\&=2\left(1+\dfrac{\sin x}{\sin ^2 x+1}\right)\\
&=\begin{cases} 0,&\sin x =0,\\
2\left(1+\dfrac 1{\sin x+\dfrac 1{\sin x}}\right),&\sin x\ne 0,\end{cases}\end{split}\]而\[\left(\sin x+\dfrac{1}{\sin x}\leqslant -2\right)\lor\left(\sin +\dfrac{1}{\sin x}\geqslant 2\right),\]于是所求的最小值为 $1$，最大值为 $3$．
&=\begin{cases} 0,&\sin x =0,\\
2\left(1+\dfrac 1{\sin x+\dfrac 1{\sin x}}\right),&\sin x\ne 0,\end{cases}\end{split}\]而\[\left(\sin x+\dfrac{1}{\sin x}\leqslant -2\right)\lor\left(\sin +\dfrac{1}{\sin x}\geqslant 2\right),\]于是所求的最小值为 $1$，最大值为 $3$．
题目
答案
解析
备注
