袋中放有同样大小的黑球 $21$ 个，白球 $29$ 个，小张每次从袋中随意摸出两个球放在外边，若摸出的两个球同色，就另外再拿一个黑球放入袋中，若摸出的两个球异色，就把其中的那个白球放回袋中，如此，为一次操作，这样反复操作 $45$ 次后，袋中还剩 个球，黑球、白球的个数有 种情况．
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$5$；$3$
【解析】
分别袋中的黑球和白球的个数分别为 $a$，$b$，则根据题意三种操作 $X,Y,Z$ 对小球个数的影响为\[\begin{array}{c|cc}\hline
operation&a&b\\ \hline
X&+1&-2\\ \hline
Y&-1&0\\ \hline
Z&-1&0\\ \hline \end{array}\]设 $45$ 次操作中包含 $m$ 次 $X$ 操作以及 $45-m$ 次 $Y$ 或 $Z$ 操作，则可得\[0\leqslant 29-2m\leqslant 5,\]于是 $m=12,13,14$，符合题意的情况数为 $3$．
operation&a&b\\ \hline
X&+1&-2\\ \hline
Y&-1&0\\ \hline
Z&-1&0\\ \hline \end{array}\]设 $45$ 次操作中包含 $m$ 次 $X$ 操作以及 $45-m$ 次 $Y$ 或 $Z$ 操作，则可得\[0\leqslant 29-2m\leqslant 5,\]于是 $m=12,13,14$，符合题意的情况数为 $3$．
题目
答案
解析
备注
