如图，在 ${\rm Rt}\triangle{ABC}$ 中，$\angle C=90^{\circ}$，$M$ 是 $BC$ 的中点，过 $A,B,M$ 三点作 $\odot O$，过点 $A$ 作 $\odot O$ 的切线，交 $BC$ 的延长线与 $D$，若 $BC=2$，$AD:CD=2\sqrt 7:1$，则 $\angle{AMC}=$ ，$\odot O$ 的直径的值是 ．
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$60^{\circ}$；$\dfrac{2\sqrt {21}}{3}$
【解析】
根据题意，有 $AM=MC=1$，$AD=2\sqrt 7m$，$CD=m$，由圆幂定理可得\[DA^2=DM\cdot DB,\]即\[\left(2\sqrt 7m\right)^2=(m+1)\cdot (m+2),\]解得 $m=\dfrac 13$．因此\[AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt 3,\]于是 $\angle AMC=60^\circ$．进一步，根据正弦定理，圆 $O$ 的直径为\[\dfrac{AB}{\sin \angle AMB}=\dfrac{\sqrt{AC^2+BC^2}}{\sin \angle AMC}=\dfrac{\sqrt 7}{\dfrac{\sqrt 3}2}=\dfrac{2\sqrt{21}}3.\]
题目
答案
解析
备注
