已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2x+5}+{\lg}\dfrac{1-x}{1+x}$，则不等式 $f\left[x\left(x-\dfrac12\right)\right]<\dfrac15$ 的解集是 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac{1-\sqrt{17}}{4},0\right)\cup\left(\dfrac12,\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}\right)$
【解析】
函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,1)$，可变形为$$f(x)=\dfrac{1}{2x+5}+{\lg}\left(\dfrac{2}{1+x}-1\right),$$由此，函数 $f(x)$ 在定义域上单调递减，故 $f\left[x\left(x-\dfrac12\right)\right]<\dfrac15$ 等价于$$\begin{cases}-1<x\left(x-\dfrac12\right)<1,\\x\left(x-\dfrac12\right)>0,\end{cases}$$解得不等式的解集为 $\left(\dfrac{1-\sqrt{17}}{4},0\right)\cup\left(\dfrac12,\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}\right)$．
题目
答案
解析
备注
