有一个正四棱锥 $V-ABCD$，侧面都是边长为 $1$ 的正三角形，设点 $P$ 在侧面 $VAB$ 的边 $AB$ 的高线上，且点 $P$ 到点 $V$ 与到边 $AB$ 的距离之比为 $1:3$，$M$ 是边 $BC$ 的中点，则在棱锥表面上从点 $P$ 到点 $M$ 的最短距离是 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt{39}}{8}$
【解析】
由题可知点 $P$ 可经过 $VB$ 到达点 $M$，也可以经过 $AB$ 到达点 $M$，如图．
当 $P$ 经过 $VB$ 时，如图 $(2)$，则在 $\triangle VPM$ 中，由余弦定理，得$$PM=\sqrt{VP^2+VM^2-2\cdot VP\cdot VM\cdot\cos\angle PVM}=\dfrac{\sqrt{39}}{8},$$当 $P$ 经过 $AB$ 时，如图 $(3)$，则$$PM=\sqrt{PR^2+RM^2}> PR=\dfrac12+\dfrac{3\sqrt3}{8}>\dfrac{\sqrt{39}}{8},$$因此，在棱锥表面上从点 $P$ 到点 $M$ 的最短距离为 $\dfrac{\sqrt{39}}{8}$．
当 $P$ 经过 $VB$ 时，如图 $(2)$，则在 $\triangle VPM$ 中，由余弦定理，得$$PM=\sqrt{VP^2+VM^2-2\cdot VP\cdot VM\cdot\cos\angle PVM}=\dfrac{\sqrt{39}}{8},$$当 $P$ 经过 $AB$ 时，如图 $(3)$，则$$PM=\sqrt{PR^2+RM^2}> PR=\dfrac12+\dfrac{3\sqrt3}{8}>\dfrac{\sqrt{39}}{8},$$因此，在棱锥表面上从点 $P$ 到点 $M$ 的最短距离为 $\dfrac{\sqrt{39}}{8}$．
题目
答案
解析
备注
